Dynamischer Anteil

Der dynamische Anteil entsteht hauptsächlich durch die geneigte Erdachse. Diese bewirkt, dass im Sommer auf der Nordhalbkugel die Tageslänge zunimmt, wohingegen im Winter die Tageslänge abnimmt. Auf der Südhalbkugel ist es genau umgekehrt.
Dieser Wert ist recht einfach zu berechnen.

• α = Standort (Breitengrad)
• δ = Deklination der Sonne (± 23,5°)

Es kann hier eine Verhältnisgleichung aufgestellt werden, da es sich um zwei Dreiecke mit den selben Winkeln handelt:

(tan(δ) / 1) = (x / sin(α))

Diese Gleichung stellt man nach x um:

x = tan(δ) × sin(α)

Dieser Wert steht jetzt in Bezug zum Erdradius (r=1), wir brauchen ihn aber in Bezug zur Strecke a. Hier ist eine Umrechnung nötig.

a = cos(α)

x = tan(δ) × sin(α) / cos(α)

Vereinfachen: sin(α) /cos(α) ≡ tan(α)

x = tan(δ) × tan(α)

Hinweis: Bei den Werten von x und y handelt es sich um "Strecken", und nicht um "Winkel". Das Bezugssystem ist dazu die Strecke a. Erst am Ende werden diese Werte in Winkel umgewandelt.

Refraktion - was ist das?

Die Refraktion ist ein Phänomen, dass nur dann auftritt, wenn ein Planet eine Atmosphäre so wie die Erde besitzt. Zum Zeitpunkt des Sonnenauf- und Untergangs müssen die Lichtstrahlen der Sonne vom Betrachter aus gesehen extrem schräg durch diese Atmosphäre hindurch. Hierbei wird das Licht mehrfach gebrochen, sodaß der Betrachter die Sonne nicht mehr an ihrer wahren Position sehen kann. Sie wird immer etwas höher erscheinen. Aus diesem Grund ist der Zeitpunkt von Sonnenauf- und Untergang etwas früher bzw. später als erwartet, da die Refraktion nicht vernachlässigt wird.

  Refraktion

Da es sich bei der Refraktion um einen konstanten Wert handelt, ist es vorteilhaft, die Betrachtung erst einmal für den Äquator zu machen.

Mit zunehmendem Deklinationswinkel der Sonne wird auch am Äquator die Tageslänge länger, sodaß wir folgenden Ansatz haben:

• ref(wert) = Refraktionswert

y = ref(wert) / cos(δ)

Mit zunehmendem Breitengrad muß man das Verhältnis anpassen, da die Wertigkeit wächst.

y = ref(wert) / ( cos(δ) × cos(α) )

Da wir jetzt beide Strecken berechnen können, ist es auch möglich, den Winkel β zu bestimmen:

β = arcsin(x + y)

Davon bilden wir einen Zeitwert:

dynAnteil = arcsin(x + y) / 2π

Erst wenn man alle Komponenten in die Formel einbringt, wirkt sie kompliziert und schwer.

dynAnteil = arcsin( tan(δ) × tan(α) + ref(wert) / (cos(δ) × cos(α))) / 2π

Somit können wir auch die endgültige Formel für den Sonnenauf- und Untergang notieren:

SA = Transitzeit - 6h ± dynAnteil

SU = Transitzeit + 6h ± dynAnteil

Das Vorzeichen ergibt sich aus der Logik.