Methode

Die Sonnwenddaten geben uns die Information, wie lange die Erde braucht, um von einem Punkt zum anderen zu gelangen. Diese Information ist sehr wichtig, weil sie auch den Verlauf der elliptischen Laufbahn beschreibt. In der nebenstehenden Grafik kann man sehen, dass die Erde 184 Tage braucht, um vom Frühlingspunkt zum Herbstpunkt zu gelangen, wenn der Weg über den Sommerpunkt verläuft. In der anderen Richtung sind es nur 176 Tage.
Der Grund liegt in der sich dauernd ändernden Geschwindigkeit der Erde, die, je nach Winkelstellung zur Sonne mal beschleunigt, und mal verzögert wird.
 

Da es zur Zeit in unserer Datei nicht möglich ist, einen Winkel von 180 Grad in einem Zeitraum von 184 Tagen zu bilden, bleibt nur die Konsequenz, diese Sachlage zu ändern. Ich muß eine Möglichkeit finden, die Tagesnummer zu "verlangsamen", um die Situation anzupassen. Hierzu verwende ich eine Sinusfunktion, dessen Werte von der Tagesnummer abgezogen werden.
Die Amplitude errechnet sich dabei aus den Sonnwenddaten, sodass sie jedes Jahr genau ist.
Erklärung: Da ich das Jahr auf 360 Tage verkürzt habe, würde eine Laufzeit von 184 Tagen auch einem Winkel von 184 Grad entsprechen. Innerhalb dieses Zeitraumes ist die Sinusfunktion jedoch von 0 auf den Maximalwert von 4 Tage gelaufen. Zieht man diese 4 Tage jetzt von der Tagesnummer ab (184 - 4), so bleiben 180 Tage - dementsprechend auch genau 180 Grad übrig. Genau diese Situation ist auch gewollt.

Argument = (tNr - sin(x))

Sinus - Amplitude

Aus den Sonnwenddaten kann man erstmal nur Laufzeitunterschiede ermitteln. Um daraus einen Wert für die Amplitude einer Sinusfunktion zu formen, ist eine Umrechnung nötig. Hierbei gilt folgendes:

• Die Differenz beider Halbjahreslaufzeiten ist immer doppelt so groß wie die tatsächliche Abweichung
• Die Differenz zwischen dem Minimum und Maximum einer Sinusfunktion ist immer doppelt so groß wie die Amplitude

• t(F) = Anzahl Tage im Frühling
• t(S) = Anzahl Tage im Sommer
• t(H) = Anzahl Tage im Herbst
• t(W) = Anzahl Tage im Winter
• Amp(X) = Amplitude der Sinusfunktion

Amp(X) = ( t(F) + t(S) - ( t(H) + t(W) )) / 4

Für die zweite Kurve:

Amp(Y) = ( t(S) + t(H) - ( t(W) + t(F) )) / 4

Zu diesem Zeitpunkt gilt dann für den Fehlerwert durch die elliptische Laufbahn:

• eErr = Fehlerwert durch elliptische Laufbahn

eErr = sin(X) + cos(Y)

Hinweis: Rein technisch ist eine Sinus- und eine Cosinusfunktion das Selbe. Sie unterscheiden sich nur in der Phasenlage, das heißt, der Nullpunkt liegt an einer anderen Stelle.

Die Formel für den Sonnenwinkel ändert sich dadurch auch, da die elliptische Laufbahn ja tatsächlich existiert:

sWkl = mSW × (tNr - (np + eErr))

Nullpunkte

Eine Bedingung haben wir schon erfüllt, nämlich die Berechnung der einzelnen Amplituden beider Kurven.
Jetzt gilt es, die korrekten Nullpunkte zu finden. Bei der Funktion gilt: "der Nullpunkt ist der Punkt, an der die positive Halbwelle startet". Es gilt also, die entsprechende Tagesnummer zu finden, an der die Funktion mit der positiven Halbwelle starten kann. Diese Berechnung wird erstmal recht "grob" gemacht, da die Ermittlung nicht ganz einfach ist.

An dieser Grafik kann man recht gut erkennen, wo in etwa der Nullpunkt liegt. Da die X-Achse annähernd in Jahreszeiten unterteilt ist, liegt der Nullpunkt in etwa an der Stelle, an der der Sommer beginnt (Monat 6). Angenähert gilt also folgendes:

• np(F) = Startpunkt des Frühlings (Monat 3)

np(X) = np(F) + ¼ Jahr

Da ich für die andere Kurve eine Cosinusfunktion gewählt habe gilt hier:

np(Y) = np(F) - ¼ Jahr

"Meßgerät"

Es ist kein Meßgerät in dem Sinne, sondern ich kann mit diesen Werten sehen, ob die beiden Halbachsen genau 180 Grad zueinander stehen, oder nicht. Sind beide Werte (farblich gekennzeichnet) gleich, so ist diese Bedingung erfüllt, und die jeweilige Differenz ist Null.

Makro

Die Ermittlung des Nullpunktes überlasse ich natürlich nicht dem Zufall, sondern einem Makro.
Das, was das Makro macht kann man gut in einem einzigen Satz beschreiben:

"Erhöhe die Variable X solange, bis die Differenz Y Null ist"

Das Prinzip dahinter funktioniert immer, weil die Achswerte sich gegenläufig ändern, wie man an der nachfolgenden Grafik sehen kann. Es bleibt jedem freigestellt, diese Werte mal von Hand zu ermitteln.

ana_X.xls (440 kB) Vers.2.1 Kompensation - X

(großes Bild)

Das Ergebnis sieht man hier:

Hinweis: Die Werte der Grafik in der Datei sind ab diesem Zeitpunkt nicht mehr in Minuten, sondern in Sekunden angegeben.

In diesen Beispieldateien sind die Amplitudenwerte für die einzelnen Kurven doppelt. Einmal als berechneter Wert und einmal als benutzter Wert. Man hat dadurch die Möglichkeit, ein wenig zu "experimentieren". Schreibt man in diese Zellen eine 0, so ist die jeweilige Kurve außer Funktion. Das Makro sollte man dann nicht mehr starten.
 

ana_XY.xls (470 kB) Vers.2.1 Kompensation - XY

(großes Bild)

Das Ergebnis sieht man hier:

Hier kann man schon ein wenig den Einfluß des Mondes erkennen. Für die Konstruktion einer Sonnenuhr wäre diese Genauigkeit des Analemmas schon ausreichend.